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高三数学必修一导数的背景教案
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2.切线的斜率
问题2:P(1,1)是曲线上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析:设点Q的横坐标为1+,则点Q的纵坐标为(1+)2,点Q对于点P的纵坐标的增量(即函数的增量),
所以,割线PQ的斜率.
由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,变得越来越小,越来越接近2;当点Q无限接近于点P时,即无限趋近于0时,无限趋近于2.这表明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式,这条切线的方程为:.
一般地,已知函数的图象是曲线C,P(),Q()是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P,即趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时,割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当趋向于0时,割线PQ的斜率的极限为k.
3.边际成本
问题3:设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为,我们来研究当q=50时,产量变化对成本的影响.在本问题中,成本的增量为:.
产量变化对成本的影响可用:来刻划,越小,越接近300;当无限趋近于0时,无限趋近于300,我们就说当趋向于0时,的极限是300.
我们把的极限300叫做当q=50时的边际成本.
一般地,设C是成本,q是产量,成本与产量的函数关系式为C=C(q),当产量为时,产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时,无限趋近于常数A,经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时,增加单位产量需付出成本A(这是实际付出成本的一个近似值).
二、小结
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限;切线是割线的极限位置,切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限;边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.
三、练习与作业:
1.某物体的运动方程为(位移单位:m,时间单位:s)求它在t=2s时的速度.
2.判断曲线在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.
3.已知成本C与产量q的函数关系式为,求当产量q=80时的边际成本.
4.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为,求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
5.判断曲线在(1,)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.
6.已知成本C与产量q的函数关系为,求当产量q=30时的边际成本.

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